《概率思维改变人生！贝叶斯教你做对每一个选择》
别再凭直觉做决定了！这本书揭秘概率思维如何成为人生终极指南。从赌博数学到量子力学，作者用贝叶斯定理破解决策迷思：为什么“狼来了”故事是概率动态调整的完美案例？如何避免医疗误诊、投资失败等90%的决策错误？书中更用新冠疫情等真实案例，教你用概率权衡风险与收益。掌握这套思维，你将在不确定的世界中做出最明智的选择！
2: 概率与人生指南
概率是人生的真正指南 - 英国哲学家巴特勒的名言，强调概率在人生决策中的指导作用
概率是一种机遇，即通常说的“运气” - 人生中的重大决策、风险投资及日常琐事都离不开概率方法
概率论诞生于16世纪，研究事件发生可能性的学问 - 起源于赌博问题，与不确定推理、归纳推理密切相关
贝叶斯主义概率论在20世纪下半叶逐渐主导归纳科学哲学 - 贝叶斯定理最初由理查德·普莱斯发表，后成为重要推理理论
不确定性是人类生存状况的一个基本事实 - 人类文明始终面临偶然性和不确定性的挑战，概率是应对这些挑战的武器
贝叶斯概率理论可以很好地刻画经验对人们行为的影响 - 以“狼来了”寓言为例，展示村民对小孩可信度的动态调整过程
概率逻辑的发展历史是一个不断解决悖论、疑难的过程 - 归纳悖论（如酒水悖论、古德曼悖论）推动概率理论的进步
概率哲学研究从不确定中寻找确定性，从确定中探究不确定 - 在新冠疫情中，概率思维帮助权衡治疗方案的确定性与风险
贝叶斯主义的“主观概率”比单纯的“客观概率”更加全面 - 它同时把握主客观因素，通过主观认识反映客观真实
如果人人都掌握了基于贝叶斯主义概率的决策与博弈的方法，许多问题都可以通过概率和逻辑判定 - 包括抗疫策略、经济影响乃至政治选举的可能性
概率理论不仅是统计推理的理论，还将发展为“贝叶斯的科学哲学” - 在经济管理等领域广泛应用，并具有深刻的哲学意义
3: 概率哲学导论序言
- 我的打算是针对概率的哲学写一本具有高度可读性的导论性的书，它会让任何一个用到概率这门学问的学生受益很多。
- 这样一本书不单单描画了有关概率的各种不同的解释，而且还从日常生活入手，提供了针对这些解释的证明和反驳。
- 本书针对概率推理中几个常见的谬误进行了解释（第九章），此外还就发生在社会科学和自然科学领域的概率现象进行了解释（第十章）。
- 写这样一本书尽管十分辛苦，但我却感到乐此不疲，因为就当前来看，大多数学术上的声誉都是和研究的产出率相关联的。
- 如果本书所写的内容中能体现我对这个主题的满腔热情，而且能够推动大家就此进行更深入的研究，对我来说这就算是最大的奖赏了。
- 我要对许多人表示感谢。 包括克里斯·阿特金森、洪真如、威廉·佩登、毛里齐奥·苏亚雷斯、乔恩·威廉森、张寄冀，以及唐纳德·吉利斯，是他激发了我对概率的哲学的兴趣。
- 本书结构涵盖概率的多种解释（经典、逻辑、主观、客观贝叶斯、群体层面、频率、倾向性），并深入探讨概率推理中的常见谬误和实际应用。
4: 概率与生活决策
- 如果不懂概率的话，你可能会发现自己会做出一些坏的决定，在不该行动时行动，在该行动时无动于衷。
- 概率用于测量各种可能性的显著程度，帮助我们根据风险偏好和可能性大小做出决策。
- 如果没有概率，我们会认为所有可能性同等重要，导致过度担忧或盲目乐观，无法有效行动。
- 概率的解释可分为基于世界的（客观的）和基于信息的（认知的） 两种主要方式。
- 基于世界的观点认为概率是世界的固有属性，需要通过实验（如频率）来评估。
- 基于信息的观点认为概率依赖于人所掌握的信息，反映了人对事件可能性的信念程度。
- 关于概率的解释存在一元论与多元论之争：
- 一元论追求简单统一的解释，但可能牺牲解释力。
- 多元论允许在不同语境中使用不同的概率解释（如量子力学用客观概率，天气预报用认知概率）。
- 拉普拉斯之魔思想实验论证：如果存在一个全知的存在（知道宇宙初始状态和所有自然法则），则不需要概率，因为未来完全可预测。
- 但该论证依赖隐含假定：自然法则不包含概率，而量子力学等领域表明概率可能内在于自然规律中。
- 概率的解释初步分类为：
- 基于信息的解释（如古典概率、逻辑概率、主观概率）。
- 基于世界的解释（如频率概率、倾向概率）。
- 概率陈述的正确解释可能因语境而异，选择哪种解释取决于具体问题和可用信息。
5: 概率论的起源与发展
- 来自赌桌上的迫切需求，促使概率的数学理论得到了发展。 游戏结果中令人不解的模式促使人们寻找数学手段来理解和预测它们。
- 如果一组打赌游戏不得不提前停止，玩家之间如何公平地分配赌资？ 这成为概率理论发展的核心问题之一。
- 概率理论的发展是17世纪三个法国人之间进行对话的一个结果：赌徒戈邦德、数学家帕斯卡和费马。 他们解决了赌资分配的问题。
- 关键问题：两个玩家同意玩一组公平游戏，率先赢三局的一方获得全部赌资，但游戏提前终止，比分是2:1。 赌资该如何分配？
- 帕斯卡和费马认识到，回答这个问题的关键在于考虑未来所有可能的结果，而不是仅仅基于已经发生的情况。
- 列出所有可能的结果：
- 玩家甲在下一局获胜（比分3:1，甲获胜）
- 玩家乙在下一局获胜，但甲在之后获胜（比分3:2，甲获胜）
- 玩家乙在接下来的两局获胜（比分2:3，乙获胜）
- 通过分析这些结果，玩家甲在三种可能中有两种获胜，玩家乙只有一种。 因此，赌资分配应为甲得三分之二，乙得三分之一。
- 但进一步分析显示，由于游戏是公平的，每种结果发生的概率并不相同。 必须考虑每种结果发生的具体概率。
- 使用图示方法表示可能结果和概率： 从初始比分（2,1）出发，每个箭头代表一次游戏结果，标记概率分数（如公平游戏中均为1/2）。
- 通过概率相乘计算最终结果的期望频次： 例如，玩家乙获胜的唯一路径概率为（1/2）×（1/2）= 1/4，因此乙应得赌资的四分之一。
- 拉普拉斯给出了概率的经典定义： 机会理论就在于将所有同类事件归约为相当数量的等可能情况，并计算有利情况与所有可能情况的比值。
- 等可能情况意味着“在同等程度上无法判定它们的存在”，即每种结果被期待发生的频次相等。
- 如果游戏不公平（例如有偏向），只需调整箭头上的概率值，但确保从任意点出发的所有概率之和为1。 这样仍可公平分配赌资。
- 紧贴箭头的数字就是概率，它们可以基于世界（如实际频次）或基于信息（如缺乏判断理由）。
- 即使游戏公平，概率的指派也可能基于信息： 我们可能没有任何理由期望一种结果而非另一种，因为从长远看频次相等。
- 概率可以在基于世界的意义上使用，或在基于信息的意义上指派，这联系到后续的“客观贝叶斯主义”解释。
6: 逻辑解释与条件概率
- 概率的逻辑解释由凯恩斯引入，基本思想是命题之间存在的是逻辑关系而非衍推关系
- 条件概率P(p|q)表示在假设q为真的情况下p的概率
- 当q衍推p时，P(p|q)=1；当q与p矛盾时，P(p|q)=0
- 当p与q不相关时，P(p|q)=1⁄2（在P(p)=1/2的条件下）
- 部分衍推的情况：如果q部分衍推p的程度大于非p，则P(p|q)>1/2；反之则P(p|q)<1⁄2
- 概率本质上不是独立的，必须考虑”给定”的条件，没有一个命题自身就是可能的或不可能的
- 逻辑概率与合理置信度相关：如果p以程度r部分衍推q，那么对q的合理置信度应该是r
- 测量逻辑概率依赖无差别原则：如果没有理由区分几个候选者，则赋予它们相等概率
- 无差别原则存在问题：如何划分可能性存在歧义（如硬币例子中的可区分与不可区分结果）
- 地平线悖论和水/酒悖论展示了无差别原则在无限可能性和自然划分上的困难
- 否定形式的无差别原则：只要有理由区分两个命题，它们就不具有相等可能性
- 另一种视角：波普尔提出从内容角度理解概率，前提在特定程度上包含结论的内容
7: 主观解释与信念程度
- 主观解释的基本思想：置信度（信念的程度）应该通过概率公理来限定，这一观点由德·菲尼蒂和拉姆塞独立提出。
- 荷兰赌论证的核心：通过打赌行为来论证置信度应服从概率公理，“b 不应该大于1”，且“当 b 涉及一个确定事件时，b 就应该等于1”。
- 荷兰赌论证的问题：打赌场景涉及博弈策略，“你必须考虑你的对手会做什么”，这可能导致赌商无法准确反映真实的置信度。
- 置信度的测量挑战：“通过内省我们就能知道我们的看法的强度” 这一观点被拉姆塞否定，他认为置信度应通过行为倾向来衡量。
- 操作主义的局限性：德·菲尼蒂试图用赌商操作性地定义置信度，但“操作主义是出于值得称道的原因被引入的，但它也是一个很成问题的学说”。
- 评分规则作为替代方案：用预测游戏（如气象学家的例子）替代赌博场景，以更准确地测量置信度，但“使用评分规则并不仅仅是一种测量置信度的方法，它还是一种鼓励人们努力让他们的置信度变得‘更好’的方法”。
- 主观解释的反驳：“概率可以采取数学上所讲的无穷多个值，而我们的置信度却是更加‘粗线条’的”，且主观解释可能让合理的置信度范围过大。
- 科学中的主观概率：主观解释可以描述科学家如何回应证据，但“科学建立在一个比这更加可靠的基础之上” 的期望可能未被满足。
- 德·菲尼蒂的共识论证：“随着时间的推移，人们会遇到更多的证据，因而有望获得更多的共识”，但这一论证依赖于可交换性假定，而现实中许多事件是相互依赖的。
- 主观解释的独立性挑战：德·菲尼蒂未能成功论证所有概率都是主观的，“唯一一个明显的优点在于，我们能够通过相同的方式解释所有的概率陈述”，但这仅是便利性考虑。
8: 客观贝叶斯型解释
客观贝叶斯主义的目标是结合逻辑解释和主观解释的优点：逻辑解释提供唯一概率值但难以测量，主观解释易于测量但缺乏客观性
合理置信度需满足三个限定条件：
- 概率：必须符合概率公理（如P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=1）
- 校准：需基于观察到的频率和相关经验信息（如已知”1”出现40%则P(1)=0.4）
- 含糊：对缺失信息应”最大限度地不予明确”，对剩余可能性赋予相等概率
含糊原则的本质是无差别原则的扩展：当缺乏理由指派不等概率时，应赋予相等概率
客观贝叶斯主义与逻辑解释的核心差异：
- 逻辑解释关注命题间的客观逻辑关系
- 客观贝叶斯主义直接关注合理置信度的构建
对客观贝叶斯的主要质疑：
- 校准标准可能强制要求关注频率，忽视其他合理信念
- 含糊原则与无差别原则存在根本相似性
- 面对”地平线悖论”时可能产生多重合法概率值
关键认识：概率解释存在光谱范围：从纯主观主义到强客观贝叶斯主义之间存在连续过渡，可通过选择不同的限定标准组合来构建
9: 群体层面的信念与概率解释
- 群体也能拥有信念和置信度，使用”我们相信”等表述很自然，特别是在科研团队和政治团体中
群体层面的概率解释探讨群体是否像个体一样需要遵守概率规则来保持理性
群体荷兰赌展示了当不同个体接受相互冲突的赌注时，群体可能遭受必然损失
群体合理性需要两个条件：公共资金和事前沟通能力
“资金”不必是金钱，可以是任何共有价值物；”赌”也不必是字面意义上的赌博，而是泛指各种决策行为
吉列斯的主体间解释认为：社会信念比个体信念更为根本，因为社会信念抗拒变化且通过社会互动传递
主体间概率表示”一个已经达成共识的社会群体的置信度“，要求群体成员对命题拥有完全相同的个体置信度
替代观点认为主体间概率应理解为共识性赌商而非群体置信度
群体可以同意使用共同的赌商而不必拥有相同的信念，这在军事决策和投资决策中都有体现
客体间概率作为可能的发展方向，要求共识通过特定合理方式达成，可能产生唯一正确的群体赌商值
合理的群体赌商应满足概率公理，但这不要求个体置信度本身满足概率公理
概率的群体层面解释是一个相对较新但重要的研究领域，连接了概率理论与社会科学
10: 频率解释的局限性
- 基于世界的概率观点：概率存在于物理世界，不依赖于人的信念或信息，而是通过经验集合体中的频率来把握
- 有限经验集合体的局限性：实际相对频率只能描述有限集合体中的属性分布，无法解释未发生事件的概率（如未被抛掷的硬币）
- 无限集合体的理想化：通过极限运算定义概率，但经验集合体通常是有限的，且无限序列可能不存在稳定的极限频率（如哈杰克的波动序列例子）
- 冯·米泽斯的频率解释：概率是无限数学集合体中的极限频率，通过理想化将经验集合体塑造为无限模型，依赖稳定性和随机性法则
- 稳定性法则：经验集合体中属性的相对频率随时间趋于稳定，但这一法则仅是经验性的，并非必然真理
- 随机性法则：集合体中的事件序列应无固定模式，但现实中可能存在未被发现的模式，挑战频率解释的可靠性
- 单一案例概率问题：频率解释无法为个体事件（如一次手术存活率）提供概率，仅适用于群体性现象
- 参照类问题：选择哪个集合体作为概率计算的基础存在模糊性（如不同医学研究中的存活率数据冲突）
- 参照序列问题：无限集合体中频率依赖于成员排序方式，而排序策略可能因观察框架不同而发生变化，导致概率的主观性
- 频率解释的价值与局限：实际频率是概率的经验标志，但概率本身可能并非频率，而是更抽象的概念
11: 倾向性解释与稳定性法则
- 倾向性理论试图从更基本、更潜在的事物去解释稳定性法则，而不是像频率解释那样仅关注可观察的相对频率。
- 概率被视为一种倾向性，类似于“可溶解的”“易燃的”等性质，是事物在特定环境下采取行动的方式或潜在能力。
- 波普尔认为概率是实验安排的性质，而不是集合体的性质，因此单一事例也可以具有概率，即使事件只发生一次。
- 冯·米泽斯虽然认同概率是物理性质，但否认单一事例概率的存在，认为概率只与重复实验的结果集合相关。
- 长期倾向性理论将倾向性与可重复条件关联，认为倾向性在多次重复实验后会产生近似等于概率的频率。
- 单一事例倾向性与长期倾向性可能存在关联：单一事例倾向性的存在可能衍推出长期倾向性，但反之不一定成立。
- 参照类问题对倾向性解释同样存在挑战：实验是否“相同”取决于描述方式，而因果相关条件的微小变化可能影响倾向性的测量。
- 汉弗莱悖论指出单一事例倾向性在反向概率（如P(q|p)）上表现古怪，因为因果性具有时间方向性，而倾向性似乎缺乏这种限制。
- 长期倾向性可以避免汉弗莱悖论，因为它依赖于可重复条件和长期频率，而不直接涉及单一事例的因果方向问题。
- 倾向性解释的最终结论是：长期倾向性观点比相对频率或单一事例倾向性遭受更少的批评，但不应完全否认单一事例倾向性的存在或可能性。
12: 概率推理的误区与悖论
以下是第九章”谬误、谜题和一个悖论”的精华笔记：
赌徒谬误的核心错误：人们错误地认为独立事件的概率会受历史结果影响
- 轮盘赌案例：连续26次出现黑色后，赌徒错误地认为红色概率增加
- 关键观点：每一次旋转所得的结果都独立于其他次旋转所得的结果
- 稳定性法则并不要求系统有”记忆”或结果间存在因果联系
基础比率谬误：忽视基础概率信息导致的错误判断
- 医疗检测案例：万分之一患病率下，即使检测准确率99%，阳性结果的实际患病概率仅约1%
- 重要观点：必须同时考虑基础率和检测准确率
倒置谬误：混淆条件概率P(p,q)和P(q,p)
- DNA证据案例：法医错误地将”匹配|不是我的”概率等同于”不是我的|匹配”概率
- 关键警示：这种错误在司法鉴定中可能导致严重误判
合取谬误：错误认为合取事件的概率大于单个事件
- 琳达问题：大多数人错误认为”银行出纳且女权主义者”比单纯”银行出纳”概率更大
- 数学事实：P(p&q) ≤ P(p) 且 P(p&q) ≤ P(q)
蒙提·霍尔悖论：概率直觉与数学事实的冲突
- 核心发现：换门策略将获胜概率从1/3提升到2/3
- 重要启示：概率问题的准确界定和系统分析至关重要
- 过程假设的细微变化会完全改变概率计算结果
总体建议：根据概率的不同解释进行思考有助于避免这些常见谬误
- 长期倾向性思考特别有助于理解蒙提·霍尔等问题
- 形式化的概率工具（如贝叶斯定理）能有效防止推理错误